如图，△MCB的顶点B、C分别在x轴、y轴的正半轴上，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点M，C，B，...

问题详情：

 如图，△MCB的顶点B、C分别在x轴、y轴的正半轴上，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点M，C，B，且点M为抛物线的顶点，点A(－1, 0)是抛物线与x轴负半轴的交点，若线段AB＝6，∠ABC＝45°.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点D为线段BM上任意一点(点D不与点B重合)，过点D作垂直于x轴的直线x＝t，交抛物线于点E，交线段BC于点F.

①求当t为何值时，线段DE有最大值？最大值是多少？

②是否存在这样的点D，使得＝？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．

第13题图

【回答】

解：(1)∵A(－1，0)，AB＝6，

∴OB＝5，

∴点B的坐标为(5，0)，

∵∠ABC＝45°，

∴CO＝BO＝5，

∴点C的坐标是(0，5)，

把A、B、C三点坐标代入y＝ax2＋bx＋c中，

得，解得，

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋5；

(2)①由抛物线y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9得顶点M(2，9)，

设BM的解析式为y＝kx＋b1(k≠0)，将点B、点M的坐标代入可得

，解得，

∴直线BM的解析式为y＝－3x＋15，

∵EF⊥AB，

∴xE＝xD＝t，

∴E(t，－t2＋4t＋5)，D(t，－3t＋15)，

∴ED＝－t2＋4t＋5－(－3t＋15)＝－t2＋7t－10＝－(t－)2＋，

∵－1<0，

∴当t＝时，ED最大＝；

②存在．

理由如下：

设直线BC的解析式为y＝mx＋n(m≠0)，

将点B、点C的坐标代入可得，

解得，

∴直线BC的解析式为y＝－x＋5，

∴F(t，－t＋5)，

∴ED＝－t2＋7t－10，FD＝－2t＋10，

当＝时，2(－t2＋7t－10)＝－2t＋10，

解得t1＝3，t2＝5(与B点重合，舍去)，

∴D点的坐标为(3，6)．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题