问题详情:
如图,已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C
(1)求点A,B,C的坐标;
(2)点E是此抛物线上的点,点F是其对称轴上的点,求以A,B,E,F为顶点的平行四边形的面积;
(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△ACM是等腰三角形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)分别令y=0,x=0,即可解决问题.
(2)由图象可知AB只能为平行四边形的边,分E点为抛物线上的普通点和顶点2种情况讨论,即可求出平行四边形的面积.
(3)分A、C、M为顶点三种情形讨论,分别求解即可解决问题.
【解答】解:(1)令y=0得﹣x2﹣x+2=0,
∴x2+2x﹣8=0,
x=﹣4或2,
∴点A坐标(2,0),点B坐标(﹣4,0),
令x=0,得y=2,∴点C坐标(0,2).
(2)由图象①AB为平行四边形的边时,
∵AB=EF=6,对称轴x=﹣1,
∴点E的横坐标为﹣7或5,
∴点E坐标(﹣7,﹣)或(5,﹣),此时点F(﹣1,﹣),
∴以A,B,E,F为顶点的平行四边形的面积=6×=.
②当点E在抛物线顶点时,点E(﹣1,),设对称轴与x轴交点为M,令EM与FM相等,则四边形AEBF是菱形,此时以A,B,E,F为顶点的平行四边形的面积=×6×=.
(3)如图所示,①当C为等腰三角形的顶角的顶点时,CM1=CA,CM2=CA,作M1N⊥OC于N,
在RT△CM1N中,CN==,
∴点M1坐标(﹣1,2+),点M2坐标(﹣1,2﹣).
②当M3为等腰三角形的顶角的顶点时,∵直线AC解析式为y=﹣x+2,
线段AC的垂直平分线为y=x,
∴点M3坐标为(﹣1,﹣1).
③当点A为等腰三角形的顶角的顶点的三角形不存在
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题