问题详情:
已知直线x-2y+2=0经过椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点A和上顶点D,椭圆C的右顶点为B,点S是椭圆C上位于x轴上方的动点,直线AS,BS与直线l:x=分别交于M,N两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求线段MN的长度的最小值.
【回答】
解:(1)如图,由题意得椭圆C的左顶点为A(-2,0),上顶点为D(0,1),
即a=2,b=1.
故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)直线AS的斜率显然存在且不为0,
设直线AS的方程为y=k(x+2)(k>0),解得M(,),
且将直线方程代入椭圆C的方程,
得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0.
设S(x1,y1),由根与系数的关系得(-2)·x1=.
由此得x1=,y1=,
即S(,).
又B(2,0),则直线BS的方程为y=-(x-2),
联立直线BS与l的方程解得N(,-).
∴MN=+=+≥2=.
当且仅当=,即k=时等号成立,
故当k=时,线段MN的长度的最小值为.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题