問題詳情:
如圖,四邊形ABCD的頂點在⊙O上,BD是⊙O的直徑,延長CD、BA交於點E,連線AC、BD交於點F,作AH⊥CE,垂足為點H,已知∠ADE=∠ACB.
(1)求*:AH是⊙O的切線;
(2)若OB=4,AC=6,求sin∠ACB的值;
(3)若,求*:CD=DH.
【回答】
(1)*見解析;(2);(3)*見解析.
【解析】
(1)連線OA,*△DAB≌△DAE,得到AB=AE,得到OA是△BDE的中位線,根據三角形中位線定理、切線的判定定理*;
(2)利用正弦的定義計算;
(3)*△CDF∽△AOF,根據相似三角形的*質得到CD=CE,根據等腰三角形的*質*.
【詳解】
(1)*:連線OA,
由圓周角定理得,∠ACB=∠ADB,
∵∠ADE=∠ACB,
∴∠ADE=∠ADB,
∵BD是直徑,
∴∠DAB=∠DAE=90°,
在△DAB和△DAE中,
,
∴△DAB≌△DAE,
∴AB=AE,又∵OB=OD,
∴OA∥DE,又∵AH⊥DE,
∴OA⊥AH,
∴AH是⊙O的切線;
(2)解:由(1)知,∠E=∠DBE,∠DBE=∠ACD,
∴∠E=∠ACD,
∴AE=AC=AB=6.
在Rt△ABD中,AB=6,BD=8,∠ADE=∠ACB,
∴sin∠ADB==,即sin∠ACB=;
(3)*:由(2)知,OA是△BDE的中位線,
∴OA∥DE,OA=DE.
∴△CDF∽△AOF,
∴=,
∴CD=OA=DE,即CD=CE,
∵AC=AE,AH⊥CE,
∴CH=HE=CE,
∴CD=CH,
∴CD=DH.
【點睛】
本題考查的是圓的知識的綜合應用,掌握圓周角定理、相似三角形的判定定理和*質定理、三角形中位線定理是解題的關鍵.
知識點:圓的有關*質
題型:解答題