如圖,在△ABC中,∠A=60°,E是兩條內角平分線的交點,F是兩條外角平分線的交點,A1是∠ABC與∠ACD...

問題詳情：

如圖,在△ABC中,∠A=60°,E是兩條內角平分線的交點,F是兩條外角平分線的交點,A1是∠ABC與∠ACD平分線的交點.

(1)求∠A1EC的度數;

(2)求∠BFC的度數;

(3)探索∠A1與∠A的數量關係,並說明理由;

(4)若∠A=100°,在(3)的情況下,作∠A1BC與∠A1CD的平分線交於點A2,以此類推,∠AnBC與∠AnCD的平分線交於點An,求∠An的度數.(直接寫出結果)

【回答】

解:(1)∵E是兩條內角平分線的交點,

∴∠EBC=∠ABC,∠ECB=∠ACB,

∴∠BEC=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+∠A=120°,

∴∠A1EC=180°-120°=60°.

(2)∵F是兩條外角平分線的交點,

∴∠FBC=(180°-∠ABC),∠FCB=(180°-∠ACB),

∴∠BFC=180°-(180°-∠ABC+180°-∠ACB)=(∠ABC+∠ACB)=(180°-∠A)=90°-∠A=60°.

(3)∠A1=∠A.理由如下:

∵A1是∠ABC與∠ACD平分線的交點.

∴∠ACD=2∠A1CD,∠ABC=2∠A1BD,

∵∠A1=∠A1CD-∠A1BD,∠A=∠ACD-∠ABD,

∴∠A=2∠A1CD-2∠A1BD=2(∠A1CD-∠A1BD),

∴∠A=2∠A1,即∠A1=∠A.

(4)∠An=.

知識點：與三角形有關的角

題型：解答題