問題詳情:
若三個非零實數,,滿足:只要其中一個數的倒數等於另外兩個數的倒數的和,則稱這三個實數,,構成“*三組數”.
(1)實數1,2,3可以構成“*三組數”嗎?請說明理由;
(2)若直線與軸交於點,與拋物線交於,兩點.
①求*:,,三點的橫座標,,構成“*三組數”;
②若,,求點與原點的距離的取值範圍.
【回答】
(1)不能,理由見解析;(2)①見解析;②且
【分析】
(1)由*三組數的定義進行驗*即可; (2)①由直線解析式可求得x1=-,聯立直線和拋物線解析式消去y,利用一元二次方程根與係數的關係可求得x2+x3=-,x2x3=,再利用*三陣列的定義*即可; ②由條件可得到a+b+c=0,可得c=-(a+b),由a>2b>3c可求得的取值範圍,令m=,利用兩點間距離公式可得到OP2關於m的二次函式,利用二次函式的*質可求得OP2的取值範圍,從而可求得OP的取值範圍.
【詳解】
解:(1)不能,理由如下:
∵1、2、3的倒數分別為1、、,
∴,,
∴實數1,2,3不可以構成“*三組數”;
(2)①∵、、均不為0,
∴,,都不為0,
∵直線與軸交於點,
∴,解得,
聯立直線與拋物線解析式,消去可得,即,
∵直線與拋物線交與,兩點,
∴、是方程的兩根,
∴,,
∴,
∴,,構成“*三組數”;
②∵,
∴,
∴;
∵,
∴,且,整理可得,
解得,∵
∴,
令,則且,且,
∵
∴當時,隨的增大而減小,當時,有最大臨界值,當時,有最小臨界值,
當時,隨的增大而增大,當時,有最小臨界值,當時,有最大臨界值,
∴且,
∵到原點的距離為非負數,
∴且.
【點睛】
本題為二次函式的綜合應用,涉及新定義、函式圖象的交點、一元二次方程根與係數的關係、勾股定理、二次函式的*質、分類討論思想及轉化思想等知識.在(1)中注意利用*三陣列的定義,在(2)①中用a、b、c分別表示出x1,x2,x3是解題的關鍵,在(2)②中把OP2表示成二次函式的形式是解題的關鍵.本題考查知識點較多,綜合*較強,特別是最後一問,難度很大.
知識點:二次函式單元測試
題型:解答題