問題詳情:
已知點M是橢圓C: =1(a>b>0)上一點,F1、F2分別為C的左、右焦點,|F1F2|=4,∠F1MF2=60°,△F1MF2的面積為
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設N(0,2),過點p(﹣1,﹣2)作直線l,交橢圓C異於N的A、B兩點,直線NA、NB的斜率分別為k1、k2,*:k1+k2為定值.
【回答】
【考點】KH:直線與圓錐曲線的綜合問題;K3:橢圓的標準方程.
【分析】(I)由余弦定理可得=|MF1|2+|MF2|2﹣2|MF1||MF2|cos60°,結合|F1F2|=2c=4,|MF1|+|MF2|=2a,求出a2,b2的值,可得橢圓C的方程;
(Ⅱ)當直線l的斜率存在時,設其方程為y+2=k(x+1),與出橢圓方程聯立後,利用韋達定理,化簡k1+k2可得定值;當直線l斜率不存在時,求出A,B兩點座標,進而求出k1、k2,綜合討論結果,可得結論.
【解答】解:(I)在△F1MF2中,由|MF1||MF2|sin60°=,得|MF1||MF2|=.
由余弦定理,得=|MF1|2+|MF2|2﹣2|MF1||MF2|cos60°=(|MF1|+|MF2|)2﹣2|MF1||MF2|(1+cos60°)
又∵|F1F2|=2c=4,|MF1|+|MF2|=2a
故16=4a2﹣16,
解得a2=8,故b2=a2﹣c2=4
故橢圓C的方程為
(Ⅱ)當直線l的斜率存在時,設其方程為y+2=k(x+1)
由,得(1+2k2)x2+4k(k﹣2)x+2k2﹣8k=0
設A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=,x1x2=,
從而k1+k2=+==2k﹣(k﹣4)=4. 11分
當直線l斜率不存在時,得A(﹣1,),B(﹣1,﹣)
此時k1+k2=4
綜上,恆有k1+k2=4.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題