問題詳情:
設F1,F2分別是雙曲線(a>0,b>0)的左、右焦點,雙曲線上存在一點P使得∠F1PF2=60°,|OP|=3b(O為座標原點),則該雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.
【回答】
D【考點】KC:雙曲線的簡單*質.
【分析】利用雙曲線的定義與餘弦定理可得到a2與c2的關係,從而可求得該雙曲線的離心率.
【解答】解:設該雙曲線的離心率為e,依題意,||PF1|﹣|PF2||=2a,
∴|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|=4a2,
不妨設|PF1|2+|PF2|2=x,|PF1|•|PF2|=y,
上式為:x﹣2y=4a2,①
∵∠F1PF2=60°,
∴在△F1PF2中,
由余弦定理得,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|•cos60°=4c2,②
即x﹣y=4c2,②
又|OP|=3b, +=2,
∴2+2+2||•||•cos60°=4||2=36b2,
即|PF1|2+|PF2|2+|PF1|•|PF2|=36b2,
即x+y=36b2,③
由②+③得:2x=4c2+36b2,
①+③×2得:3x=4a2+72b2,
於是有12c2+108b2=8a2+144b2,
∴=,
∴e==.
故選:D.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:選擇題