問題詳情:
如圖,AB是⊙O的直徑,點C、D在⊙O上,∠A=2∠BCD,點E在AB的延長線上,∠AED=∠ABC
(1)求*:DE與⊙O相切;
(2)若BF=2,DF=,求⊙O的半徑.
【回答】
【考點】切線的判定.
【分析】(1)連線OD,由AB是⊙O的直徑,得到∠ACB=90°,求得∠A+∠ABC=90°,等量代換得到∠BOD=∠A,推出∠ODE=90°,即可得到結論;
(2)連線BD,過D作DH⊥BF於H,由弦且角動量得到∠BDE=∠BCD,推出△ACF與△FDB都是等腰三角形,根據等腰直角三角形的*質得到FH=BH=BF=1,則FH=1,根據勾股定理得到HD==3,然後根據勾股定理列方程即可得到結論.
【解答】(1)*:連線OD,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°,
∴∠A+∠ABC=90°,
∵∠BOD=2∠BCD,∠A=2∠BCD,
∴∠BOD=∠A,
∵∠AED=∠ABC,
∴∠BOD+∠AED=90°,
∴∠ODE=90°,
即OD⊥DE,
∴DE與⊙O相切;
(2)解:連線BD,過D作DH⊥BF於H,
∵DE與⊙O相切,
∴∠BDE=∠BCD,
∵∠AED=∠ABC,
∴∠AFC=∠DBF,
∵∠AFC=∠DFB,
∴△ACF與△FDB都是等腰三角形,
∴FH=BH=BF=1,則FH=1
,∴HD==3,
在Rt△ODH中,OH2+DH2=OD2,
即(OD﹣1)2+32=OD2,
∴OD=5,
∴⊙O的半徑是5.
【點評】本題考查了切線的判定和*質,等腰三角形的判定,直角三角形的*質,勾股定理,正確的作出輔助線是解題的關鍵.
知識點:各地會考
題型:解答題