問題詳情:
如圖1,在平面直角座標系中,O是座標原點,長方形OACB的頂點A、B分別在x軸與y軸上,已知OA=6,OB=10.點D為y軸上一點,其座標為(0,2),點P從點A出發以每秒2個單位的速度沿線段AC﹣CB的方向運動,當點P與點B重合時停止運動,運動時間為t秒.
(1)當點P經過點C時,求直線DP的函式解析式;
(2)①求△OPD的面積S關於t的函式解析式;
②如圖②,把長方形沿著OP摺疊,點B的對應點B′恰好落在AC邊上,求點P的座標.
(3)點P在運動過程中是否存在使△BDP為等腰三角形?若存在,請求出點P的座標;若不存在,請說明理由.
【回答】
解:(1)∵OA=6,OB=10,四邊形OACB為長方形,
∴C(6,10).
設此時直線DP解析式為y=kx+b,
把(0,2),C(6,10)分別代入,得
,
解得
則此時直線DP解析式為y=x+2;
(2)①當點P線上段AC上時,OD=2,高為6,S=6;
當點P線上段BC上時,OD=2,高為6+10﹣2t=16﹣2t,S=×2×(16﹣2t)=﹣2t+16;
②設P(m,10),則PB=PB′=m,如圖2,
∵OB′=OB=10,OA=6,
∴AB′==8,
∴B′C=10﹣8=2,
∵PC=6﹣m,
∴m2=22+(6﹣m)2,解得m=
則此時點P的座標是(,10);
(3)存在,理由為:
若△BDP為等腰三角形,分三種情況考慮:如圖3,
①當BD=BP1=OB﹣OD=10﹣2=8,
在Rt△BCP1中,BP1=8,BC=6,
根據勾股定理得:CP1==2,
∴AP1=10﹣2,即P1(6,10﹣2);
②當BP2=DP2時,此時P2(6,6);
③當DB=DP3=8時,
在Rt△DEP3中,DE=6,
根據勾股定理得:P3E==2,
∴AP3=AE+EP3=2+2,即P3(6,2+2),
綜上,滿足題意的P座標為(6,6)或(6,2+2)或(6,10﹣2).
知識點:勾股定理
題型:綜合題