如圖，已知二次函式y=ax2+bx+3的圖象交x軸於點A（1，0），B（3，0），交y軸於點C．（1）求這個二...

問題詳情：

如圖，已知二次函式y=ax2+bx+3的圖象交x軸於點A（1，0），B（3，0），交y軸於點C．

（1）求這個二次函式的表示式；

（2）點P是直線BC下方拋物線上的一動點，求△BCP面積的最大值；

（3）直線x=m分別交直線BC和拋物線於點M，N，當△BMN是等腰三角形時，直接寫出m的值．

【回答】

（1）這個二次函式的表示式是y=x2﹣4x+3；（2）S△BCP最大=；（3）當△BMN是等腰三角形時，m的值為，﹣，1，2．

【解析】

分析：（1）根據待定係數法，可得函式解析式；

（2）根據平行於y軸直線上兩點間的距離是較大的縱座標減較小的縱座標，可得PE的長，根據面積的和差，可得二次函式，根據二次函式的*質，可得*；

（3）根據等腰三角形的定義，可得關於m的方程，根據解方程，可得*．

詳解：（1）將A（1，0），B（3，0）代入函式解析式，得

，

解得，

這個二次函式的表示式是y=x2-4x+3；

（2）當x=0時，y=3，即點C（0，3），

設BC的表示式為y=kx+b，將點B（3，0）點C（0，3）代入函式解析式，得

，

解這個方程組，得

直線BC的解析是為y=-x+3，

過點P作PE∥y軸

，

交直線BC於點E（t，-t+3），

PE=-t+3-（t2-4t+3）=-t2+3t，

∴S△BCP=S△BPE+SCPE=（-t2+3t）×3=-（t-）2+，

∵-＜0，∴當t=時，S△BCP最大=.

（3）M（m，-m+3），N（m，m2-4m+3）

MN=m2-3m，BM=|m-3|，

當MN=BM時，①m2-3m=（m-3），解得m=，

②m2-3m=-（m-3），解得m=-

當BN=MN時，∠NBM=∠BMN=45°，

m2-4m+3=0，解得m=1或m=3（舍）

當BM=BN時，∠BMN=∠BNM=45°，

-（m2-4m+3）=-m+3，解得m=2或m=3（舍），

當△BMN是等腰三角形時，m的值為，-，1，2．

點睛：本題考查了二次函式綜合題，解（1）的關鍵是待定係數法；解（2）的關鍵是利用面積的和差得出二次函式，又利用了二次函式的*質，解（3）的關鍵是利用等腰三角形的定義得出關於m的方程，要分類討論，以防遺漏．

知識點：二次函式的圖象和*質

題型：解答題