黃金分割天文學家開普勒把黃金分割稱為神聖分割,並指出畢達哥拉斯定理(勾股定理)和黃金分割是幾何中的雙寶,前者好...

問題詳情：

黃金分割

天文學家開普勒把黃金分割稱為神聖分割,並指出畢達哥拉斯定理(勾股定理)和黃金分割是幾何中的雙寶,前者好比黃金,後者堪稱珠寶,歷史上最早正式在書中使用“黃金分割”這個名稱的是歐姆,19世紀以後“黃金分割”的說法逐漸流行起來,黃金分割被廣泛應用於建築等領域.黃金分割指把一條線段分為兩部分,使其中較長部分與線段總長之比等於較短部分與較長部分之比,該比值為.用下面的方法(如圖①)就可以作出已知線段AB的黃金分割點H:

①以線段AB為邊作正方形ABCD,

②取AD的中點E,連線EB,

③延長DA到F,使EF = EB,

④以線段AF為邊作正方形AFGH,點H就是線段AB的黃金分割點.

以下是*點H就是線段AB的黃金分割點的部分過程:

*:設正方形ABCD的邊長為1 ,則AB=AD=1 ,

任務:

(1)補全題中的*過程;

(2)如圖②,點C為線段AB的黃金分割點，分別以AC、BC為邊線上段AB同側作正方形ACDE和矩形CBFD,連線BD、BE.求*: EAB ~BCD;

(3)如圖③,在正五邊形ABCDE中,對角線AD、AC與EB分別交於點M、N.求*:點M是AD的黃金分割點

【回答】

(1)解：補全*過程如下：

∵四邊形AFGH為正方形，

∴AH＝AF＝，

∴＝＝，(1分)

∴點H是線段AB 的黃金分割點；(2分)

(2)*：∵四邊形ACDE為正方形，四邊形CBFD為矩形，

∴∠EAB＝∠BCD＝90°，AC＝CD＝AE＝DE＝BF，BC＝DF，(3分)

又∵點C為線段AB的黃金分割點，

∴＝，……(4分)

∴＝，

∴△EAB∽△BCD；……(5分)

(3)*：∵五邊形ABCDE是正五邊形，

∴AB＝AE＝DE，∠BAE＝∠AED＝108°，

∴∠ABE＝∠AEB＝∠ADE＝36°，

∴∠DEM＝∠AED－∠AEB＝108°－36°＝72°，

∴∠DME＝180°－36°－72°＝72°，

∴DM＝DE＝AE，……(7分)

∵∠DAE＝∠DAE，∠ADE＝∠AEM＝36°，

∴△AME∽△AED，

∴＝，……(8分)

∵AE＝DE＝DM，

∴＝，

∴點M是AD的黃金分割點．……(9分)

知識點：勾股定理

題型：解答題