問題詳情:
已知e為自然對數的底數,設函式f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),則( )
A.當k=1時,f(x)在x=1處取到極小值
B.當k=1時,f(x)在x=1處取到極大值
C.當k=2時,f(x)在x=1處取到極小值
D.當k=2時,f(x)在x=1處取到極大值
【回答】
C
[解析] 本題考查函式零點的判斷及函式的極值.
①當k=1時,f(x)=(ex-1)(x-1),此時f ′(x)=ex(x-1)+(ex-1)=ex·x-1,∴A、B項均錯.
②當k=2時,f(x)=(ex-1)(x-1)2
此時f ′(x)=ex(x-1)2+(2x-2)(ex-1)
=ex·x2-2x-ex+2=ex(x+1)(x-1)-2(x-1)
=(x-1)[ex(x+1)-2],
易知g(x)=ex(x+1)-2的零點介於0,1之間,不妨設為x0,則有
x | (-∞,x0) | x0 | (x0,1) | 1 | (1,+∞) |
f ′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | | 極大值 | ↘ | 極小值 | |
故f(x)在x=1處取得極小值.
知識點:導數及其應用
題型:選擇題