.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5，點D是BC邊上一點且CD=1，點P是線段DB上一動點...

問題詳情：

.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5，點D是BC邊上一點且CD=1，點P是線段DB上一動點，連線AP，以AP為斜邊在AP的下方作等腰Rt△AOP．當P從點D出發運動至點B停止時，點O的運動路徑長為_____．

【回答】

2

【解析】

分析：過O點作OE⊥CA於E，OF⊥BC於F，連線CO，如圖，易得四邊形OECF為矩形，由△AOP為等腰直角三角形得到OA=OP，∠AOP=90°，則可*△OAE≌△OPF，所以AE=PF，OE=OF，根據角平分線的*質定理的逆定理得到CO平分∠ACP，從而可判斷當P從點D出發運動至點B停止時，點O的運動路徑為一條線段，接著*CE=（AC+CP），然後分別計算P點在D點和B點時OC的長，從而計算它們的差即可得到P從點D出發運動至點B停止時，點O的運動路徑長．

詳解：過O點作OE⊥CA於E，OF⊥BC於F，連線CO，如圖，

∵△AOP為等腰直角三角形，

∴OA=OP，∠AOP=90°，

易得四邊形OECF矩形，

∴∠EOF=90°，CE=CF，

∴∠AOE=∠POF，

∴△OAE≌△OPF，

∴AE=PF，OE=OF，

∴CO平分∠ACP，

∴當P從點D出發運動至點B停止時，點O的運動路徑為一條線段，

∵AE=PF，

即AC-CE=CF-CP，

而CE=CF，

∴CE=（AC+CP），

∴OC=CE=（AC+CP），

當AC=2，CP=CD=1時，OC=×（2+1）=，

當AC=2，CP=CB=5時，OC=×（2+5）=，

∴當P從點D出發運動至點B停止時，點O的運動路徑長=-=2．

故*為2．

點睛：本題考查了軌跡：靈活運用幾何*質確定圖形運動過程中不變的幾何量，從而判定軌跡的幾何特徵，然後進行幾何計算．也考查了全等三角形的判定與*質．

知識點：特殊的平行四邊形

題型：解答題