問題詳情:
設F1、F2分別爲橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右兩個焦點.
(1)若橢圓C上的點A(1,)到F1、F2兩點的距離之和等於4,寫出橢圓C的方程和焦點座標;
(2)設點K是(1)中所得橢圓上的動點,求線段F1K的中點的軌跡方程;
(3)若M、N是橢圓C上關於原點對稱的兩個點,點P是橢圓上任意一點,當直線PM、PN的斜率都存在,並記爲kPM、kPN時.
求*:kPM·kPN是與點P位置無關的定值.
【回答】
解:(1)橢圓C的焦點在x軸上,由橢圓上的點A到F1、F2兩點的距離之和是4,得2a=4,即a=2.
又點A在橢圓上,
因此+=1得b2=3,
於是c2=1.
所以橢圓C的方程爲+=1,
焦點F1(-1,0),F2(1,0).
(2)設橢圓C上的動點爲K(x1,y1),線段F1K的中點Q(x,y)滿足:
x=,y=,
即x1=2x+1,y1=2y.因此+=1.
即2+=1爲所求的軌跡方程.
(3)設點M(m,n)是橢圓+=1①
上的任一點,N(-m,-n)是M關於原點的中心對稱點,則+=1②
又設P(x,y)是橢圓上任一點,且kPM·kPN存在.
則kPM=,kPN=,
∴kPM·kPN=·=.
①-②得+=0,=-,
∴kPM·kPN=-.
故kPM·kPN與P的取值無關.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:綜合題