問題詳情:
已知函數f(x)=ax3+bx2+cx在點x0處取得極大值5,其導函數y=f′(x)的圖象經過點(1,0),(2,0).如圖所示.求:
(1)x0的值;
(2)a、b、c的值.
【回答】
(1)解:由圖象可知,在(-∞,1)上f′(x)>0,在(1,2)上f′(x)<0.在(2,+∞)上f′(x)>0.
故f(x)在(-∞,1),(2,+∞)上遞增,在(1,2)上遞減.
因此f(x)在x=1處取得極大值,所以x0=1.
(2)解法一:f′(x)=3ax2+2bx+c,
由f′(1)=0,f′(2)=0,f(1)=5,
得
解得a=2,b=-9,c=12.
解法二:設f′(x)=m(x-1)(x-2)=mx2-3mx+2m,
又f′(x)=3ax2+2bx+c,
所以a=,b=-m,c=2m,
f(x)= x3-mx2+2mx.
由f(1)=5,即-m+2m=5,
得m=6,所以a=2,b=-9,c=12.
知識點:導數及其應用
題型:解答題