已知函數f（x），當x，y∈R時，恆有f（x+y）=f（x）+f（y）．當x＞0時，f（x）＞0（1）求*：f...

問題詳情：

已知函數f（x），當x，y∈R時，恆有f（x+y）=f（x）+f（y）．當x＞0時，f（x）＞0

（1）求*：f（x）是奇函數；

（2）若，試求f（x）在區間[﹣2，6]上的最值；

（3）是否存在m，使f（2（）2﹣4）+f（4m﹣2（））＞0對任意x∈[1，2]恆成立？若存在，求出實數m的取值範圍；若不存在，說明理由．

【回答】

解：（1）令x=0，y=0，則f（0）=2f（0），

∴f（0）=0．令y=﹣x，則f（0）=f（x）+f（﹣x），

∴﹣f（x）=f（﹣x），即f（x）爲奇函數；

（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2

∵f（x+y）=f（x）+f（y），

∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1），

∵當x＞0時，f（x）＞0，且x1＜x2，

∴f（x2﹣x1）＞0，

即f（x2）＞f（x1），

∴f（x）爲增函數，

∴當x=﹣2時，函數有最小值，f（x）min=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2f（1）=﹣1．

當x=6時，函數有最大值，f（x）max=f（6）=6f（1）=3；

（3）∵函數 f（x）爲奇函數，

∴不等式可化爲，

又∵f（x）爲增函數，∴，

令t=log2x，則0≤t≤1，

問題就轉化爲2t2﹣4＞2t﹣4m在t∈[0，1]上恆成立，

即4m＞﹣2t2+2t+4對任意t∈[0，1]恆成立，

令y=﹣2t2+2t+4，只需4m＞ymax，

而 （0≤t≤1），

∴當時，，則．

∴m的取值範圍就爲．

知識點：基本初等函數I

題型：解答題