已知f（x）是定義域爲R的奇函數，且當x＞0時，f（x）=2x．（1）求函數f（x）的解析式及其值域；（2）設...

問題詳情：

已知f（x）是定義域爲R的奇函數，且當x＞0時，f（x）=2x．

（1）求函數f（x）的解析式及其值域；

（2）設x0是方程f（x）=4﹣x的解，且x0∈（n，n+1），n∈Z，求n的值；

（3）若存在x≥1，使得（a+x）f（x）＜1成立，求實數a的取值範圍．

【回答】

顯然x=0不是方程f（x）=4﹣x的解．

當x＜0時，g（x）=﹣2﹣x+x﹣4＜0，

∴方程f（x）=4﹣x無負數解

當x＞0時，g（x）=2x+x﹣4單調遞增，所以函數g（x）至多有一個零點

又g（1）=﹣1＜0，g（2）=2＞0，由零點存在*原理知g（x）在區間（1，2）上至少有一個零

故g（x）的惟一零點，即方程f（x）=4﹣x的惟一解x0∈（1，2）．

所以，由題意，n=1

（3）設h（x）=2﹣x﹣x，則h（x）在11，+∞）上遞減．

∴

當x≥1時，f（x）=2x，不等式（a+x）f（x）＜1，即a＜2﹣x﹣x．

∴當時，存在x≥1，使得a＜2﹣x﹣x成立，

即關於x的不等式（a+x）f（x）＜1有不小於1的解

考點：函數奇偶*的*質；函數解析式的求解及常用方法．

知識點：不等式

題型：解答題