已知：如圖1，平面直角座標系xOy中，四邊形OABC是矩形，點A，C的座標分別爲（6，0），（0，2）．點D是...

問題詳情：

已知：如圖1，平面直角座標系xOy中，四邊形OABC是矩形，點A，C的座標分別爲（6，0），（0，2）．點D是線段BC上的一個動點（點D與點B，C不重合），過點D作直線y=﹣+b交折線O﹣A﹣B於點E．

（第26題圖）

（1）在點D運動的過程中，若△ODE的面積爲S，求S與b的函數關係式，並寫出自變量的取值範圍；

（2）如圖2，當點E在線段OA上時，矩形OABC關於直線DE對稱的圖形爲矩形O′A′B′C′，C′B′分別交CB，OA於點D，M，O′A′分別交CB，OA點N，E．求*：四邊形DMEN是菱形；

（3）問題（2）中的四邊形DMEN中，ME的長爲　   　．

【回答】

解：（1）∵矩形OABC中，點A，C的座標分別爲（6，0），（0，2），

∴點B的座標爲（6，2）．

若直線經過點C（0，2），則b=2；

若直線經過點A（6，0），則b=3；

若直線經過點B（6，2），則b=5．

①當點E在線段OA上時，即2＜b≤3時，（如答圖）

∵點E在直線上，

當y=0時，x=2b，

∴點E的座標爲（2b，0）．

∴S=．

②當點E在線段BA上時，即3＜b＜5時，（如答圖）

∵點D，E在直線上

當y=2時，x=2b﹣4；

當x=6時，y=b﹣3，

∴點D的座標爲（2b﹣4，2），點E的座標爲（6，b﹣3）．

∴S=S矩形OABC﹣S△COD﹣S△OAE﹣S△DBE==﹣b2+5b．

綜上可得

（2）*：如圖．

∵四邊形OABC和四邊形O′A′B′C′是矩形

∴CB∥OA，C′B′∥O′A′，

即DN∥ME，DM∥NE．

∴四邊形DMEN是平行四邊形，且∠NDE=∠DEM．

∵矩形OABC關於直線DE對稱的圖形爲四邊形O′A′B′C′

∴∠DEM=∠DEN．

∴∠NDE=∠DEN．

∴ND=NE．

∴四邊形DMEN是菱形．

（3）解：y=﹣x+b

當x=0時，y=b，

當y=0時，x=2b，

∴OQ=b，OE=2b

過DH⊥OE於點H，

∴DH=2，

∵∠QOE=90°，DH⊥OA，

∴DH∥OQ，

∴△DHE∽△QOE，

∴=，

即=，

∴HE=2DH=4，

設DM=ME=x，

在△DHM中，由勾股定理得：22+（4﹣x）2=x2，

解得x=2.5.

知識點：特殊的平行四邊形

題型：綜合題