如圖，已知正比例函數y=x與反比例函數y=（k＞0）的圖象交於A、B兩點，且點A的橫座標爲4．（1）求k的值；...

問題詳情：

如圖，已知正比例函數y=x與反比例函數y=（k＞0）的圖象交於A、B兩點，且點A的橫座標爲4．

（1）求k的值；

（2）根據圖象直接寫出正比例函數值小於反比例函數值時x的取值範圍；

（3）過原點O的另一條直線l交雙曲線y=（k＞0）於P、Q兩點（P點在第一象限），若由點A、P、B、Q爲頂點組成的四邊形面積爲24，求點P的座標．

【回答】

【分析】（1）先將x=4代入正比例函數y=x，可得出y=2，求得點A（4，2），再根據點A與B關於原點對稱，得出B點座標，即可得出k的值；

（2）正比例函數的值小於反比例函數的值即正比例函數的圖象在反比例函數的圖象下方，根據圖形可知在交點的右邊正比例函數的值小於反比例函數的值．

（3）由於雙曲線是關於原點的中心對稱圖形，因此以A、B、P、Q爲頂點的四邊形應該是平行四邊形，那麼△POA的面積就應該是四邊形面積的四分之一即6．可根據雙曲線的解析式設出P點的座標，然後表示出△POA的面積，由於△POA的面積爲6，由此可得出關於P點橫座標的方程，即可求出P點的座標．

【解答】（1）∵點A在正比例函數y=x上，

∴把x=4代入正比例函數y=x，

解得y=2，∴點A（4，2），

∵點A與B關於原點對稱，

∴B點座標爲（﹣4，﹣2），

把點A（4，2）代入反比例函數y=，得k=8，

（2）由交點座標，根據圖象直接寫出正比例函數值小於反比例函數值時x的取值範圍，x＜﹣4或0＜x＜4；

（3）∵反比例函數圖象是關於原點O的中心對稱圖形，

∴OP=OQ，OA=OB，

∴四邊形APBQ是平行四邊形，

∴S△POA=S平行四邊形APBQ×=×24=6，

設點P的橫座標爲m（m＞0且m≠4），

得P（m，），

過點P、A分別做x軸的垂線，垂足爲E、F，

∵點P、A在雙曲線上，

∴S△POE=S△AOF=4，

若0＜m＜4，如圖，

∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF，

∴S梯形PEFA=S△POA=6．

∴（2+）（4﹣m）=6．

∴m1=2，m2=﹣8（捨去），

∴P（2，4）；

若m＞4，如圖，

∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE，

∴S梯形PEFA=S△POA=6．

∴（2+）（m﹣4）=6，

解得m1=8，m2=﹣2（捨去），

∴P（8，1）．

∴點P的座標是P（2，4）或P（8，1）．

【點評】本題考查了待定係數法求反比例函數與一次函數的解析式和反比例函數中k的幾何意義．這裏體現了數形結合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．利用數形結合的思想，求得三角形的面積．

知識點：反比例函數

題型：解答題