問題詳情:
如圖,在矩形ABCO中,AO=3,tan∠ACB=,以O爲座標原點,OC爲軸,OA爲軸建立平面直角座標系.設D,E分別是線段AC,OC上的動點,它們同時出發,點D以每秒3個單位的速度從點A向點C運動,點E以每秒1個單位的速度從點C向點O運動,設運動時間爲秒.
(1)求直線AC的解析式;
(2)用含的代數式表示點D的座標;
(3)當爲何值時,△ODE爲直角三角形?
(4)在什麼條件下,以Rt△ODE的三個頂點能確定一條對稱軸平行於軸的拋物線?並請選擇一種情況,求出所確定拋物線的解析式.
【回答】
(1);(2)D(,);(3),,,;(4)
【解析】
(1)在Rt△AOC中,已知AO的長以及∠ACB的正弦值,能求出OC的長,即可確定點C的座標,利用待定係數法能求出直線AC的解析式.
(2)過D作AO、OC的垂線,通過構建相似三角形來求出點D的座標.
(3)用t表示出OD、DE、OE的長,若△ODE爲直角三角形,那麼三邊符合勾股定理,據此列方程求出對應的t的值.
(4)根據(3)的結論能得到t的值,△ODE中,當OD⊥x軸或DE垂直x軸時,都不能確定“一條對稱軸平行於y軸的拋物線”,餘下的情況都是符合要求的,首先得D、E的座標,再利用待定係數法求出拋物線的解析式.
【詳解】
(1)根據題意,得CO=AB=BC•tan∠ACB=4,則A(0,3)、B(4,3)、C(4,0);
設直線AC的解析式爲:y=kx+3,代入C點座標,得:
4k+3=0,k=-,
∴直線AC:;
(2)分別作DF⊥AO,DH⊥CO,垂足分別爲F,H,
則有△ADF∽△DCH∽△ACO,
∴AD:DC:AC=AF:DH:AO=FD:HC:OC,
而AD=(其中0≤≤),OC=AB=4,AC=5,∴FD=AD=,AF=AD=,
DH=,HC=,
∴D(,);
(3)CE=,E(,0),OE=OC-CE=4-,HE=|CH-CE|=,
則OD2=DH2+OH2==,
DE2=DH2+HE2==,
當△ODE爲Rt△時,有OD2+DE2=OE2,或OD2+OE2=DE2,或DE2+OE2=OD2,
即①,
或②,
或③,
上述三個方程在0≤≤內的所有實數解爲
,,,;
(4)當DO⊥OE,及DE⊥OE時,即和時,以Rt△ODE的三個頂點不確定對稱軸平行於軸的拋物線,其它兩種情況都可以各確定一條對稱軸平行於軸的拋物線D(,),E(4-,0),
當時,D(,),E(3,0),因爲拋物線過O(0,0),
所以設所求拋物線爲,將點D,E座標代入,求得,,
∴所求拋物線爲.
(當時,所求拋物線爲).
【點睛】
本題考查的是代數幾何綜合應用,涉及了待定係數法、相似三角形的*質、勾股定理、二次函數等知識,綜合*較強,,有一定的難度,熟練掌握相關知識並運用分類討論思想進行解題的關鍵.
知識點:二次函數的圖象和*質
題型:解答題