兩塊等腰直角三角形紙片AOB和COD按圖1所示放置，直角頂點重合在點O處，AB=25，CD=17．保持紙片AO...

問題詳情：

兩塊等腰直角三角形紙片AOB和COD按圖1所示放置，直角頂點重合在點O處，AB=25，CD=17．保持紙片AOB不動，將紙片COD繞點O逆時針旋轉α（0°<α<90°）角度，如圖2所示．

（1）利用圖2*AC=BD且AC⊥BD；

（2）當BD與CD在同一直線上（如圖3）時，求AC的長和α的正弦值．

【回答】

（1）*：如圖2中，延長BD交OA於G，交AC於E．

∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠DOB，

在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，

∵∠DBO+∠GOB=90°，∵∠OGB=∠AGE，∴∠CAO+∠AGE=90°，∴∠AEG=90°，∴BD⊥AC．

（2）解：如圖3中，設AC=x，∵BD、CD在同一直線上，BD⊥AC，∴△ABC是直角三角形，

∴AC2+BC2=AB2，∴x2+（x+17）2=252，解得x=7，

∵∠ODC=∠α+∠DBO=45°,∠ABC+∠DBO=45°,∴∠α=∠ABC，

∴sinα=sin∠ABC==．

知識點：勾股定理

題型：解答題