（2018•重慶）對任意一個四位數n，如果千位與十位上的數字之和爲9，百位與個位上的數字之和也爲9，則稱n爲“...

問題詳情：

（2018•重慶）對任意一個四位數n，如果千位與十位上的數字之和爲9，百位與個位上的數字之和也爲9，則稱n爲“極數”．

（1）請任意寫出三個“極數”；並猜想任意一個“極數”是否是99的倍數，請說明理由；

（2）如果一個正整數a是另一個正整數b的平方，則稱正整數a是完全平方數．若四位數m爲“極數”，記D（m）＝，求滿足D（m）是完全平方數的所有m．

【回答】

解析：（1）根據“極數”的意義得，1287，2376，8712，

任意一個“極數”都是99的倍數，

理由：設對於任意一個四位數且是“極數”n的個位數字爲x，十位數字爲y，（x是0到9的整數，y是0到8的整數）

∴百位數字爲（9﹣x），千位數字爲（9﹣y），

∴四位數n爲：1000（9﹣y）+100（9﹣x）+10y+x＝9900﹣990y﹣99x＝99（100﹣10y﹣x），

∵x是0到9的整數，y是0到8的整數，

∴100﹣10y﹣x是整數，

∴99（100﹣10y﹣x）是99的倍數，

即：任意一個“極數”都是99的倍數；

（2）設四位數m爲“極數”的個位數字爲x，十位數字爲y，（x是0到9的整數，y是0到8的整數）

∴m＝99（100﹣10y﹣x），

∵m是四位數，

∴m＝99（100﹣10y﹣x）是四位數，

即1000≤99（100﹣10y﹣x）＜10000，

∵D（m）＝＝3（100﹣10y﹣x），

∴30≤3（100﹣10y﹣x）≤303

∵D（m）完全平方數，

∴3（100﹣10y﹣x）既是3的倍數也是完全平方數，

∴3（100﹣10y﹣x）只有36，81，144，225這四種可能，

∴D（m）是完全平方數的所有m值爲1188或2673或4752或7425．

知識點：乘法公式

題型：解答題