如圖，在四棱錐P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，PB與平面ABC成60°的角，底面ABCD是直角梯形，∠...

問題詳情：

如圖，在四棱錐P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，PB與平面ABC成60°的角，底面ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝AD.

(1)求*：平面PCD⊥平面PAC ；

(2)設E是棱PD上一點，且PE＝PD，求異面直線AE與PB所成角的餘弦值．

【回答】

 解：如圖，建立空間直角座標系A－xyz.

∵PA⊥平面ABCD，PB與平面ABC成60°，

∴∠PBA＝60°.

取AB＝1，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,0，)，D(0,2,0)．

.

∴AC⊥CD，AP⊥CD，

∴CD⊥平面PAC.

CD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAC.

(2)∵＝，∴E(0，，)，∴＝(0，，)．又＝(1,0，－)，∴·＝－2.

∴cos〈·〉＝＝＝－.

∴異面直線AE與PB所成角的餘弦值爲.

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題