已知函數滿足：①；②.（Ⅰ）設，若函數（）在區間上單調遞增，求實數的取值範圍；（Ⅱ）設函數，討論此函數在定義域...

問題詳情：

已知函數滿足：①；②.

（Ⅰ）設，若函數（）在區間上單調遞增，求實數的取值範圍；

（Ⅱ）設函數，討論此函數在定義域範圍內的零點個數．

【回答】

解：（Ⅰ），  ①

          又，即，②

          將①式代入②式，得，又∵

          ∴，．     ……………………………………………2分   

依題意有

          在區間上單調遞增，

           又函數在區間上單調遞增

          且在區間上恆成立  ……………………4分

        ，即  解得

    故實數的取值範圍是．……………………………………6分 

（Ⅱ）方法1 ∵ 函數

      　　　    有解，即

　　 　   又∵

　　　  　∴ 的最小值爲，

　　　　  ∴

　        又

                即 （*）

　　　    ∴當t>2時，方程（*）有2個不同的實數根；

                  當t=2時，方程（*）有1個實數根；

                  當t<2時，方程（*）沒有實數根．

                綜上：當時t>2，函數在定義域範圍內有2個零點；

                      當t=2時，函數在定義域範圍內有1個零點；

                      當1<t<2時，函數在定義域範圍內沒有零點．…………12分      

方法2∵ 函數

      　　　     有解，即

                 又∵

　　　　   ∴ 的最小值爲

　　　   　∴t>1

　         又

                 即  

                 ∴當t>2時，直線與拋物線有2個不同的交點；

                   當t=2時，直線與拋物線有1個交點；

                   當t<2時，直線與拋物線沒有交點．

                 綜上：當t>2時，函數在定義域範圍內有2個零點；

                       當t=2時，函數在定義域範圍內有1個零點；

                       當1<t<2時，函數在定義域範圍內沒有零點．………12分

知識點：*與函數的概念

題型：解答題