設函數fn(x)＝1+x+x2＋…＋xn，n∈N*．    (1)求*：當x∈(0，＋∞)時，ex＞fn(x)...

問題詳情：

設函數fn(x)＝1+x+x2＋…＋xn，n∈N*．

     (1)求*：當x∈(0，＋∞)時，ex＞fn(x)；

   (2)若x＞0，且ex＝fn(x)+xn+1ey，求*：0＜y＜x．

【回答】

．解：(1)用數學歸納法*：當x∈(0，＋∞)時，ex＞fn(x)；

(i)當n＝1時，令f(x)＝ex－f1(x)＝ex－x－1，則f ′(x)＝ex－1＞0，x∈(0，＋∞)恆成立，所以，f(x)在區間(0，＋∞)爲增函數，又因爲f(0)＝0，所以f(x)＞0，即ex＞f1(x)．

(ii)假設n＝k時，命題成立，即當x∈(0，＋∞)時，ex＞fk(x)，

則n＝k+1時，令g(x)＝ex－fk+1(x)＝ex－(1+x+x2＋…＋xk＋xk+1)，

則g′(x)＝ex－(1+x+x2＋…＋xk)＝ex－fk(x)＞0，所以g(x)在區間(0，＋∞)爲增函數，又因爲g(0)＝0，所以 g(x)＞0，x∈(0，＋∞)恆成立，即ex＞fk+1(x)，x∈(0，＋∞)．所以n＝k+1時，命題成立．

由(i)(ii)及歸納假設可知，n∈N*，當x∈(0，＋∞)時，ex＞fn(x)．

(2)由(1)可知ex＞fn+1(x)，即fn(x)+ xn+1ey＞fn(x)+ xn+1ey＞1，即y＞0．

下面先用數學歸納法*：當x＞0，ex＜1+x+x2＋…＋xnex．n∈N*．

(i)當n＝1時，令F(x)＝1+xex－ex，則F′(x)＝xex＞0，x∈(0，＋∞)，所以F(x)在區間(0，＋∞)單調增，又F(0)＝0，故F(x)＞0，即ex＜1+xex．

(ii)假設n＝k時，命題成立，即當x∈(0，＋∞)時，ex＜1+x+x2＋…＋xkex．則

當n＝k+1時，令G(x)＝1+x+x2＋…＋xk+xk+1ex－ex，則

G′(x)＝1+x+x2＋…＋xkex+xk+1ex－ex＞xk+1ex＞0，

所以G(x)在區間(0，＋∞)上爲增函數，又G(0)＝0，故G(x)＞0，即

ex＜1+x+x2＋…＋xkex+xk+1ex，x∈(0，＋∞)．

由(i)(ii)及歸納假設，可知當x∈(0，＋∞)時，ex＜1+x+x2＋…＋xkex+xk+1ex，對n∈N*成立．

由ex＝1+x+x2＋…＋xnex+xn+1ey＜1+x+x2＋…＋xn+xn+1ex

所以   ey＜exy＜x．*畢．

知識點：推理與*

題型：解答題