如圖所示，光滑水平面右端B處連接一個豎直的半徑爲R的光滑半圓軌道，在離B距離爲x的A點，用水平恆力將質量爲m的...

問題詳情：

如圖所示，光滑水平面右端B處連接一個豎直的半徑爲R的光滑半圓軌道，在離B距離爲x的A點，用水平恆力將質量爲m的質點從靜止開始推到B處後撤去恆力，質點沿半圓軌道運動到C處後又正好落回A點，求：

(1)推力對小球所做的功.

(2)x取何值時，完成上述運動所做的功最少?最小功爲多少？

(3)x取何值時，完成上述運動用力最小?最小力爲多少？

【回答】

【知識點】動能定理的應用；牛頓第二定律；向心力．C2 D4 E2

【*解析】(1) mg(16R2+x2) /8R(2)2R(3)mg  解析： （1）從A到C的過程中由動能定理有：

從C點又正好落回到A點過程中：在C點水平拋出的速度爲：

解得：WF=mg(16R2+x2) /8R

（2）若功最小，則在C點動能也最小，在C點需滿足：

從A到C的過程中由動能定理有：

WF=mgR

=2R

     （3）若力最小，從A到C的過程中由動能定理有：

由二次方程求極值得：

x=4R最小的力F=mg

【思路點撥】（1）小球在恆定推力作用下，在光滑水平面做勻加速直線，當到達B點撤去恆力，讓其在沿光滑半圓軌道運動到C處後，又正好落回A點．因小球離開C點後做平拋運動，已知高度與水平位移的情況下，可求出小球在C處的速度大小，選取從A到C過程，由動能定理可求出推力對小球所做的功．（2）力F做功越小，小球到達B點的速度越小，到達最高點C的速度越小，當小球恰好到達C點時，由重力充當向心力，此時C點的速度最小，力F做功最小．先由牛頓第二定律求出小球通過C點的最小速度，根據（1）問的結果求出x，即可得到最小功；（3）根據功與x的關係式，運用數學知識求解力最小時x的值及最小的力．本題要挖掘隱含的臨界條件：小球通過C點的最小速度爲 ，由動能定理求解F做功，再運用數學不等式知識求解極值．

知識點：動能和動能定律

題型：計算題