已知函數f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零點x0，且x0＞0．則a的取值範圍是　　

問題詳情：

 已知函數f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零點x0，且x0＞0．則a的取值範圍是　　

【回答】

a＜-2當a=0時，f（x）=﹣3x2+1=0，解得x=，函數f（x）有兩個零點，不符合題意，應捨去；

當a＞0時，令f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＞0，列表如下：

∵x→﹣∞，f（x）→﹣∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，

不符合條件：f（x）存在唯一的零點x0，且x0＞0，應捨去．

當a＜0時，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＜0，列表如下：

而f（0）=1＞0，x→+∞時，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）=0，

∵f（x）存在唯一的零點x0，且x0＞0，∴極小值f（）=a（）3﹣3（）2+1＞0，

化爲a2＞4，∵a＜0，∴a＜﹣2．

知識點：函數的應用

題型：填空題