問題詳情:
如圖,矩形和梯形所在平面互相垂直,,,.
(Ⅰ)求*:平面;
(Ⅱ)當的長為何值時,二面角的大小為60°.
【回答】
解:
方法一:(1)*:在中,,,,,
所以.又因為在中,,所以.
由已知條件知,平面,所以.
又,所以平面……6分
(2)過點B作交延長線於,連接.
由平面平面,平面平面,AB⊥BC,
得AB⊥平面BEFC,從而AH⊥EF.所以∠AHB為二面角A-EF-C的平面角.
在Rt△CEF中,因為EF=2,CF=4,EC=
∴∠CFE=60°,由BE∥CF,得∠BEH=60°.又在Rt△BHE中,BE=3,
∴.
由二面角A-EF-C的平面角∠AHB=60°,在Rt△AHB中,解得,
所以當時,二面角A-EF-C的大小為60°.…….12分
方法二:(1)同解法一
(2)如圖,以點C為座標原點,以CB,CF和CD分別作為x軸,y軸和z軸,建立空間直角座標系C-xyz.
設AB=a(a >0),則C(0,0,0),A(,0,a),B(,0,0),E(, 3,0),F(0,4,0).從而
設平面AEF的法向量為,由得,
取x=1,則,即.
不妨設平面EFCB的法向量為,
由條件,得,
解得.所以當時,二面角A-EF-C的大小為60°.…12分
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:解答題