在研究某市場交通情況時，道路密度是指該路段上一定時間內通過的車輛數除以時間，車輛密度是該路段一定時間內通過的車...

問題詳情：

在研究某市場交通情況時，道路密度是指該路段上一定時間內通過的車輛數除以時間，車輛密度是該路段一定時間內通過的車輛數除以該路段的長度，現定義交通流量為v=，x為道路密度，q為車輛密度．

v=f（x）=．

（1）若交通流量v＞95，求道路密度x的取值範圍；

（2）已知道路密度x=80，交通流量v=50，求車輛密度q的最大值．

【回答】

（1）（3，40）  （2）

【解析】解：（1）∵v=，∴v越大，x越小，

∴v=f（x）是單調遞減函數，k＞0，

當40≤x≤80時，v最大為85，

於是只需令100−135•()x＞95，解得x＞3，

故道路密度x的取值範圍為（3，40）．

（2）把x=80，v=50代入v=f（x）=-k（x-40）+85中，

得50=-k•40+85，解得k=．

∴q=vx=，

當0＜x＜40時，q單調遞增，q＜100×40-135×()40×40≈4000；

當40≤x≤80時，q是關於x的二次函數，開口向下，對稱軸為x=,

此時q有最大值，為−×()2+120×=＞4000．

故車輛密度q的最大值為

【考點】根據實際問題選擇函數類型．幾類不同增長的函數模型的特點

【專題】分類討論；數學模型法；函數的*質及應用；邏輯推理．

【分析】（1）易知v越大，x越小，所以v=f（x）是單調遞減函數，k＞0，於是只需令100−135•()x＞95，解不等式即可；

（2）把x=80，v=50代入v=f（x）的解析式中，求出k的值，利用q=vx可得到q關於x的函數關係式，分段判斷函數的單調*，並求出各自區間上q的最大值，取較大者即可．

【點評】本題考查分段函數的實際應用，考查學生分析問題和解決問題的能力，以及運算能力，屬於中檔題．

知識點：函數的應用

題型：解答題