如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线...

问题详情：

如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，且OA＝OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根为﹣；其中正确的结论个数有（　　）

A．1个                       B．2个                       C．3个                       D．4个

【回答】

C

【分析】

由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y轴的交点可分别判断出a、b、c的符号，从而可判断①；由图象可知当x＝3时，y＞0，可判断②；由OA＝OC，且OA＜1，可判断③；把﹣代入方程整理可得ac2﹣bc+c＝0，结合③可判断④；从而可得出*．

【详解】

解：由图象开口向下，可知a＜0，

与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，

又对称轴方程为x＝2，所以﹣＞0，所以b＞0，

∴abc＞0，故①正确；

由图象可知当x＝3时，y＞0，

∴9a+3b+c＞0，故②错误；

由图象可知OA＜1，

∵OA＝OC，

∴OC＜1，即﹣c＜1，

∴c＞﹣1，故③正确；

假设方程的一个根为x＝﹣，把x＝﹣代入方程可得﹣+c＝0，

整理可得ac﹣b+1＝0，

两边同时乘c可得ac2﹣bc+c＝0，

即方程有一个根为x＝﹣c，

由②可知﹣c＝OA，而当x＝OA是方程的根，

∴x＝﹣c是方程的根，即假设成立，故④正确；

综上可知正确的结论有三个，

故选：C．

【点睛】

此题主要考查二次函数的图象和*质，解题的关键是正确理解函数图象和*质．

知识点：二次函数的图象和*质

题型：选择题