问题详情:
已知是自然对数的底数,函数与的定义域都是.
(1)求函数在点处的切线方程;
(2)判断函数零点个数;
(3)用表示的最小值,设,,若函数在上为增函数,求实数的取值范围.
【回答】
【详解】
(1)∵,∴切线的斜率,.
∴函数在点处的切线方程为.……………………3分
(2)∵,,∴,,,……………………5分
∴存在零点,且.∵,
∴当时,;当时,由得
.∴在上是减函数.
∴若,,,则.∴函数只有一个零点,且.……………………8分
(3),故,……………9分
∵函数只有一个零点,∴,即.∴.
∴在为增函数在,恒成立. ………………10分
当时,即在区间上恒成立.
设,只需,
,在单调递减,在单调递增.
的最小值,.
当时,,由上述得,则在恒成立. ……………………12分
综上述,实数的取值范围是.
知识点:导数及其应用
题型:解答题