问题详情:
如图,在平面直角坐标系中,直线与轴交于点,与轴交于点抛物线的对称轴是直线与轴的交点为点且经过点两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点为抛物线对称轴上一动点,当的值最小时,请你求出点的坐标;
(3)抛物线上是否存在点,过点作轴于点使得以点为顶点的三角形与相似?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
(1);(2);(3)存在;或或或
【解析】
【分析】
(1)由直线可得B、C两点的坐标,根据二次函数的对称轴求得A点坐标,可设抛物线的解析式为,将C点坐标代入可求得a,即可得抛物线的解析式;
(2)根据绝对值的*质得出的值最小时,点为BC的垂直平分线与直线的交点,求得BC垂直平分线的解析式,联立直线即可求得点;
(3)分四种情况进行讨论,设出N的坐标,根据相似三角形的对应边成比例的*质,求得N的横坐标与纵坐标的关系,然后联立抛物线解析式即可求解.
【详解】
解:∵直线与轴交于点,与轴交于点,
∴当y=0时,即,解得:x=4,则点B的坐标为,
当x=0时,,则点C的坐标为,
由二次函数的对称*可知:点与点关于直线对称,
∴点A的坐标为,
∵抛物线与轴的交点为点,
∴可设抛物线的解析式为,
又∵抛物线过点,
∴,解得:,
∴
∴抛物线的解析式为;
(2)如图1,连结CM、BM,作线段BC的垂直平分线分别交BC、直线于点,则N为BC中点;
由绝对值的*质可得:,
∴当的值最小时,即,则此时,
∴点M为与直线的交点,此时与重合,
设的解析式为:,
∵直线BC的解析式为:,
∴,解得:,则的解析式可化为:,
由得点N的坐标为,
将代入得:
,解得:,
∴,
将代入,得,即,
∴当的值最小时,点的坐标为,
(3)抛物线上存在点,使得以点为顶点的三角形与相似;
∵
∴,,,
∴,,
∵,
∴为直角三角形,,
∵轴,
∴,则,
如图2所示,分四种情况,点的坐标分别为,设点的坐标为,
①当点在x轴的上方,要使,则,
则此时点与点C重合,则此时点与点O重合,
则,满足题意,
∴此时点的坐标为;
②当点在x轴的上方,要使,则,
∴,即,代入抛物线的解析式得:
,化简得:,
解得:,(不符合题意,故舍去),
将代入抛物线解析式得:,
∴此时点的坐标为;
③当点在x轴的下方,要使,则,
∴,即,代入抛物线的解析式得:
,化简得:,
解得:,(不符合题意,故舍去),
将代入抛物线解析式得:,
∴此时点的坐标为;
④当点在x轴的下方,要使,则,
∴,即,代入抛物线的解析式得:
,化简得:,
解得:,(不符合题意,故舍去),
将代入抛物线解析式得:,
∴此时点的坐标为;
综上所述,抛物线存在点N的坐标为或或或使得以点为顶点的三角形与相似.
【点睛】
本题主要考查了一次函数与二次函数的*质、相似三角形的*质,运用数形结合与分类讨论的方法是解题的关键.
知识点:一次函数
题型:解答题