如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD.过点D作BC的平行...

问题详情：

如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD.过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.

(1)求*：PD是⊙O的切线；

(2)求*：△PBD∽△DCA；

(3)当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．

【回答】

(1)*：∵圆心O在BC上，

∴BC是⊙O的直径，

∴∠BAC＝90°.

如解图，连接OD.     

                     第17题解图               

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAC＝2∠DAC.

∵∠DOC＝2∠DAC，

∴∠DOC＝∠BAC＝90°.

即OD⊥BC.

∵PD∥BC，

∴OD⊥PD.

又OD是⊙O的半径，

∴PD是⊙O的切线；

(2)*：∵PD∥BC，

∴∠P＝∠ABC.

又∠ABC＝∠ADC，

∴∠P＝∠ADC.

∵∠PBD＋∠ABD＝180°，∠ACD＋∠ABD＝180°，

∴∠PBD＝∠ACD.

∴△PBD∽△DCA；

(3)解：∵△ABC是直角三角形，

∴BC2＝AB2＋AC2＝62＋82＝100.

∴BC＝10.

∵OD垂直平分BC，

∴DB＝DC.

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BDC＝90°.

在等腰直角三角形BDC中．DC＝DB＝5.

∵△PBD∽△DCA，

∴＝，

即PB＝＝＝.

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：综合题