如图，在平面直角坐标系中，函数的图像交轴于点、，交轴于点，它的对称轴交轴于点．过点作轴交抛物线于点，连接并延长...

问题详情：

如图，在平面直角坐标系中，函数的图像交轴于点、，交轴于点，它的对称轴交轴于点．过点作轴交抛物线于点，连接并延长交轴于点，交抛物线于点．直线交于点，交抛物线于点，连接、．

                               备用图            

（1）点的坐标为：______；

（2）当是直角三角形时，求的值；

（3）与有怎样的位置关系？请说明理由．

【回答】

(1)(1,0)；(2) 或；(3)平行，理由见解析

【分析】

(1)根据二次函数的对称轴为，代入即可求出E点坐标；

(2)将ED、AF的解析式用的代数式表示，然后由DE解析式令y=0求出F点坐标，由AF解析式令y=求出H点坐标，再根据△HEF是直角三角形分哪个顶点为直角顶点进行讨论，由勾股定理求解即可；

(3)直线DE和抛物线联立方程组求出G点坐标，直线AF和抛物线联立方程组求出K点坐标，最后计算直线GK的和直线HE的相等即可求解．

【详解】

解：(1)由题意可知，抛物线的对称轴为，

∴E点的坐标为(1,0)，

故*为(1,0)．

(2)由题意知，C点坐标为(0,3a)，C和D点关于对称轴对称，∴D坐标为(2,3a)，

设直线DE的解析式为y=kx+m，代入E(1,0)和D(2,3a)，

即，解得，

∴直线DE的解析式为y=3ax-3a，

令y=0，∴F(0,-3a)，

令中，即：，

解得，∴A(-1，0)，

设直线AF的解析式为y=bx+t，代入A(-1,0)，F(0,-3a),

即，解得，

∴直线AF的解析式为y=-3ax-3a，

令y=-3ax-3a中y=3a，解得H点坐标(-2，3a)，

∴H(-2，3a)，E(1，0)，F(0,-3a)

故EF²=(1-0)²+(0+3a)²=1+9a²，

EH²=(1+2)²+(0-3a)²=9+9a²，

FH²=(0+2)²+(-3a-3a)²=36a²+4，

∵△EFH为直角三角形，∴分类讨论谁是直角顶角，

情况一：∠E为直角顶角时，则EF²+EH²=FH²，

即：1+9a²+9+9a²=36a²+4，解得：a=，又a>0，故a=；

情况二：∠F为直角顶角时，则EF²+FH²=EH²，

即：1+9a²+36a²+4=9+9a²，解得：a=，又a>0，故a=；

情况三：∠H为直角顶角时，则FH²+EH²=EF²，

即：36a²+4+9+9a²=1+9a²，此时无解；

∴综上所述，a的值为或；

故*为：或；

(3)联立直线DF与抛物线的解析式：

，整理得：，

解得，，∴G点坐标为(-3,-12a)，

同理，联立直线AF与抛物线的解析式：

，整理得：，

解得，，∴K点坐标为(6,-21a)，

∴直线GK的，

直线HE的，

即直线GK的k值与直线HE的k值相同，

∴GK与HE平行．

故*为：与有怎样的位置关系是平行．

【点睛】

本题考查了二次函数的图像及*质，二次函数与一次函数的交点坐标的求法，一次函数的解析式，直角三角形的*质等知识点，熟练掌握二次函数的*质，学会联立方程组求函数的交点坐标是解决本题的关键．

知识点：二次函数单元测试

题型：解答题