已知函数f（x）=，若存在实数k使得函数f（x）的值域为[﹣1，1]，则实数a的取值范围是　　　　　　．

问题详情：

已知函数f（x）=，若存在实数k使得函数f（x）的值域为[﹣1，1]，则实数a的取值范围是　　　　　　．

【回答】

[2，1+]　．

【考点】函数的值域．

【专题】作图题；函数思想；数形结合法；函数的*质及应用．

【分析】由于y=log2（2﹣x）在[0，k）上是递减函数，再由函数f（x）的值域是[﹣1，1]，得到k的范围，再由y=x3﹣3x2+3的图象，结合函数的值域[﹣1，1]，从而得到a的取值范围．

【解答】解：由于y=log2（2﹣x）在[0，k）上是递减函数，

且x=0时，y=1，x=时，y=﹣1，故0＜k≤，

画出函数f（x）的图象，令x3﹣3x2+3=1，解得x=1，1+，1﹣（舍去），

令g（x）=x3﹣3x2+3，则g′（x）=3x2﹣6x，

由g′（x）=0，得x=0或x=2．

∴当x=2时，函数g（x）有极小值﹣1．

由于存在k使得函数f（x）的值域是[﹣1，1]，

故a的取值范围是[2，1+]．

故*为[2，1+]．

【点评】本题考查分段函数的图象和应用，考查函数的单调*和值域，考查数形结合的能力，属于中档题．

知识点：基本初等函数I

题型：填空题