已知橢圓：，四點中恰有三個點在橢圓上．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）如圖，動直線：交橢圓於兩點，是橢圓上一點，直線...

問題詳情：

已知橢圓：，四點中恰有三個點在橢圓上．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）如圖，動直線：交橢圓於兩點，是橢圓上一點，直線的斜率爲，且，是線段延長線上一點，且，以爲圓的圓半徑爲，是圓的兩條切線，切點分別爲．求的最大值，並求取得最大值時直線的斜率．

【回答】

解：（Ⅰ）由對稱*可知，在橢圓上，不在橢圓上，則在橢圓上，所以，將點B代入橢圓方程，可得

所以橢圓方程爲………4分

（Ⅱ）設，

聯立方程

得，

由題意知，

且，…………6分

所以 .

由題意可知圓的半徑爲………8分

由題設知，

所以………9分

因此直線的方程爲.

聯立方程

得，………11分

因此 .

由題意可知 ，………12分

而

，

令，

則，

因此 ，

當且僅當，即時等號成立，此時，………14分

所以 ，

因此，

所以 最大值爲.………15分

綜上所述：的最大值爲，取得最大值時直線的斜率爲.

知識點：圓錐曲線與方程

題型：綜合題