已知函數是定義在R上的奇函數，其中g(x)爲指數函數，且y＝g(x)的圖象過定點(2，9)．(1)求函數f(x...

問題詳情：

已知函數是定義在R上的奇函數，其中g(x)爲指數函數，且y＝g(x)的圖象過定點(2，9)．

(1)求函數f(x)的解析式；

(2)若關於x的方程，f(x)=a有解，求實數a的取值範圍；

(3)若對任意的t∈[0，5]，不等式f(t2＋2kt)＋f(－2t2－4)>0恆成立，求實數k的取值範圍．

【回答】

解：(1)設g(x)＝ax(a>0，且a≠1))，則a2＝9，

所以a＝－3 (捨去)或a＝3，

所以g(x)＝3x，f(x)＝.

又f(x)爲奇函數，且定義域爲R，

所以f(0)＝0，即＝0，所以m＝1，

所以f(x)＝.

(2)

(3)設x1<x2，

則f(x1)－f(x2)＝－＝.

因爲x1<x2，所以3x2－3x1>0，

所以>0，

所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，

所以函數f(x)在R上單調遞減．

要使對任意的t∈[0，5]，

f(t2＋2kt)＋f(－2t2-4)>0恆成立，

即對任意的t∈[0，5]，

f(t2＋2kt)>－f(－2t2-4)恆成立．

因爲f(x)爲奇函數，

所以f(t2＋2kt)>f(2t2＋4)恆成立．

又因爲函數f(x)在R上單調遞減，

所以對任意的t∈[0，5]，t2＋2kt<2t2＋4恆成立，

即對任意的t∈[0，5]，t2－2kt＋4>0恆成立．

令h(t)=t2－2kt＋4，t∈[0，5]，

時，

‚

所以，.

ƒ，，無解.

綜上，k<2.

知識點：*與函數的概念

題型：解答題