問題詳情:
已知函數f(x)=ax2﹣(a+2)x+lnx.若對任意x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,且f(x1)+2x1<f(x2)+2x2恆成立,則a的取值範圍爲 .
【回答】
[0,8] .
【考點】6E:利用導數求閉區間上函數的最值.
【分析】由題意設g(x)=f(x)+2x,(x>0),g(x)是增函數,即g'(x)≥0在(0,+∞)上恆成立,求出a的取值範圍.
【解答】解:令g(x)=f(x)+2x=ax2﹣ax+lnx,(x>0);
由題意知g(x)在(0,+∞)單調遞增,
所以g'(x)=2ax﹣a+≥0在(0,+∞)上恆成立,
即2ax2﹣ax+1≥0在(0,+∞)上恆成立;
令h(x)=2ax2﹣ax+1,(x>0);
則①若a=0,h(x)=1≥0恆成立,
②若a<0,二次函數h(x)≥0不恆成立,捨去
③若a>0,二次函數h(x)≥0恆成立,
只需滿足最小值h()≥0,
即﹣+1≥0,解得0<a≤8;
綜上,a的取值範圍是[0,8].
故*爲:[0,8].
知識點:導數及其應用
題型:填空題