問題詳情:
已知函數f(x)=-x3+x2,g(x)=aln x,a∈R.
(1)若對任意x∈[1,e],都有g(x)≥-x2+(a+2)x恆成立,求a的取值範圍;
(2)設F(x)=若P是曲線y=F(x)上異於原點O的任意一點,在曲線y=F(x)上總存在另一點Q,使得△POQ中的∠POQ爲鈍角,且PQ的中點在y軸上,求a的取值範圍.
【回答】
解 (1)由g(x)≥-x2+(a+2)x,得(x-ln x)a≤x2-2x.
由於x∈[1,e],ln x≤1≤x,且等號不能同時取得,所以ln x<x,x-ln x>0.
從而a≤恆成立,a≤min.(4分)
設t(x)=,x∈[1,e].求導,得t′(x)=.(6分)
x∈[1,e],x-1≥0,ln x≤1,x+2-2ln x>0,從而t′(x)≥0,t(x)在[1,e]上爲增函數.
所以t(x)min=t(1)=-1,所以a的取值範圍是(-∞,-1].(8分)
(2)F(x)=
設P(t,F(t))爲曲線y=F(x)上的任意一點.
假設曲線y=F(x)上存在一點Q(-t,F(-t)),使∠POQ爲鈍角,
則<0.(10分)
①若t≤-1,P(t,-t3+t2),Q(-t,aln(-t)),=-t2+aln(-t)·(-t3+t2).
由於<0恆成立,a(1-t)ln(-t)<1.
當t=-1時,a(1-t)ln(-t)<1恆成立.
當t<-1時,a<恆成立.由於>0,所以a≤0.(12分)
②若-1<t<1,且t≠0,P(t,-t3+t2),Q(-t,t3+t2),則·=-t2+(-t3+t2)·(t3+t2)<0,
即t4-t2+1>0對-1<t<1,且t≠0恆成立.(14分)
③當t≥1時,同①可得a≤0.
綜上所述,a的取值範圍是(-∞,0].(16分)
知識點:平面向量
題型:解答題