如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)經過A(－3,0)、B(5,0)、C(0,5)三點，O爲座標原...

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問題詳情：

如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)經過A(－3,0)、B(5,0)、C(0,5)三點，O爲座標原點.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)若把拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)向下平移個單位長度，再向右平移n(n＞0)個單位長度得到新拋物線，若新拋物線的頂點M在△ABC內，求n的取值範圍；

(3)設點P在y軸上，且滿足∠OPA＋∠OCA＝∠CBA，求CP的長.

【回答】

解：(1)把A.B.C三點的座標代入函數解析式可得，拋物線解析式爲y＝－x2＋x＋5；　

(2)∵拋物線頂點座標爲(1，)，新拋物線的頂點M座標爲(1＋n,1)，設直線BC解析式爲y＝kx＋m，把B.C兩點座標代入可得，∴直線BC的解析式爲y＝－x＋5，令y＝1，代入可得1＝－x＋5，解得x＝4，∵新拋物線的頂點M在△ABC內，∴1＋n＜4，且n＞0，解得0＜n＜3，即n的取值範圍爲0＜n＜3；　

(3)當點P在y軸負半軸上時，如圖1，過P作PD⊥AC，交AC的延長線於點D，由題意可知OB＝OC＝5，∴∠CBA＝45°，∴∠PAD＝∠OPA＋∠OCA＝∠CBA＝45°，∴AD＝PD，在Rt△OAC中，OA＝3，OC＝5，可求得AC＝，設PD＝AD＝m，則CD＝AC＋AD＝＋m，∵∠ACO＝∠PCD，∠COA＝∠PDC，∴△COA∽△CDP，，解得PC＝17；可求得PO＝PC－OC＝17－5＝12，如圖2，在y軸正半軸上截取OP′＝OP＝12，連接AP′，則∠OP′A＝∠OPA，∴∠OP′A＋∠OCA＝∠OPA＋∠OCA＝∠CBA，∴P′也滿足題目條件，此時P′C＝OP′－OC＝12－5＝7，綜上可知PC的長爲7或17.

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題

Tags：bx C05 B50 ax2 拋物線

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