問題詳情:
如圖,△MCB的頂點B、C分別在x軸、y軸的正半軸上,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經過點M,C,B,且點M爲拋物線的頂點,點A(-1, 0)是拋物線與x軸負半軸的交點,若線段AB=6,∠ABC=45°.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點D爲線段BM上任意一點(點D不與點B重合),過點D作垂直於x軸的直線x=t,交拋物線於點E,交線段BC於點F.
①求當t爲何值時,線段DE有最大值?最大值是多少?
②是否存在這樣的點D,使得=?若存在,求出D點的座標;若不存在,請說明理由.
第13題圖
【回答】
解:(1)∵A(-1,0),AB=6,
∴OB=5,
∴點B的座標爲(5,0),
∵∠ABC=45°,
∴CO=BO=5,
∴點C的座標是(0,5),
把A、B、C三點座標代入y=ax2+bx+c中,
得,解得,
∴拋物線的解析式爲y=-x2+4x+5;
(2)①由拋物線y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9得頂點M(2,9),
設BM的解析式爲y=kx+b1(k≠0),將點B、點M的座標代入可得
,解得,
∴直線BM的解析式爲y=-3x+15,
∵EF⊥AB,
∴xE=xD=t,
∴E(t,-t2+4t+5),D(t,-3t+15),
∴ED=-t2+4t+5-(-3t+15)=-t2+7t-10=-(t-)2+,
∵-1<0,
∴當t=時,ED最大=;
②存在.
理由如下:
設直線BC的解析式爲y=mx+n(m≠0),
將點B、點C的座標代入可得,
解得,
∴直線BC的解析式爲y=-x+5,
∴F(t,-t+5),
∴ED=-t2+7t-10,FD=-2t+10,
當=時,2(-t2+7t-10)=-2t+10,
解得t1=3,t2=5(與B點重合,捨去),
∴D點的座標爲(3,6).
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:解答題