如圖，在平面直角座標系xOy中，已知二次函數y＝Ax2＋2Ax＋C的圖象與y軸交於點C(0，3)，與x軸交於A...

問題詳情：

如圖，在平面直角座標系xOy中，已知二次函數y＝Ax2＋2Ax＋C的圖象與y軸交於點C(0，3)，與x軸交於A、B兩點，點B的座標爲(－3，0)．

(1)求二次函數的解析式及頂點D的座標；

(2)點M是第二象限內拋物線上的一動點，若直線OM把四邊形ACDB分成面積爲1∶2的兩部分，求出此時點M的座標；

(3)點P是第二象限內拋物線上的一動點，當點P在何處時△CPB的面積最大？求出最大面積？並求出此時點P的座標．

【回答】

解：(1)根據題意將B(－3，0)，C(0，3)代入拋物線解析式，

得，解得，

∴二次函數的解析式爲y＝－x2－2x＋3，

將其化爲頂點式爲y＝－(x＋1)2＋4，

∴頂點D的座標爲(－1，4)；

（2）如解圖①，連接OD、AD、AD與y軸交於點F，

第4題解圖①

S△OBD＝×3×4＝6，S四邊形ACDB＝S△ABD＋S△CDF＋S△ACF＝×4×4＋×1×1＋×1×1＋×1×1＝9，

因此直線OM必過線段BD，

由B(－3，0)，D(－1，4)得線段BD的解析式爲y＝2x＋6，

設直線OM與線段BD交於點E，

則△OBE的面積可以爲3或6.

①當S△OBE＝3時，×3×yE＝3，解得yE＝2，將y＝2代入y＝2x＋6中，得x＝－2，

∴E點座標(－2，2)．

則直線OE的解析式爲y＝－x.

設M點座標爲(x，－x)，聯立拋物線的解析式可得－x＝－x2－2x＋3，

解得x1＝，x2＝(捨去)．

∴點M(，)；

②當S△OBE＝6時，×3×yE＝6，解得yE＝4，

將y＝4代入y＝2x＋6中得x＝－1，此時點E、M、D三點重合．

∴點M座標爲(－1，4)；

綜上所述，點M的座標爲(，)，(－1，4)．

（3）如解圖②，連接OP，設P點的座標爲(M，－M2－2M＋3)，

第4題解圖②

∵點P在拋物線上，

∴S△CPB＝S△CPO＋S△OPB－S△COB

＝OC·(－M)＋OB·(－M2－2M＋3)－OC·OB

＝－M＋(－M2－2M＋3)－

＝－(M2＋3M)

＝－(M＋)2＋.

∵－3＜M＜0，

∴當M＝－時，(－M2－2M＋3)＝，△CPB的面積有最大值.

∴當點P的座標爲(－，)時，△CPB的面積有最大值，且最大值爲.

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題