已知定義在實數集R上的函數f（x）滿足f（1）=3，且f（x）的導數f′（x）在R上恆有f′（x）＜2（x∈R...

問題詳情：

已知定義在實數集R上的函數f（x）滿足f（1）=3，且f（x）的導數f′（x）在R上恆有f′（x）＜2（x∈R），則不等式f（x）＜2x+1的解集爲（　　）

A．（1，+∞）   B．（﹣∞，﹣1）    C．（﹣1，1）   D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

【回答】

A【考點】利用導數研究函數的單調*；導數的運算．

【專題】計算題；函數的*質及應用；導數的綜合應用；不等式的解法及應用．

【分析】令F（x）=f（x）﹣2x﹣1，從而求導可判斷導數F′（x）=f′（x）﹣2＜0恆成立，從而可判斷函數的單調*，從而可得當x＞1時，F（x）＜F（1）=0，從而得到不等式f（x）＜2x+1的解集．

【解答】解：令F（x）=f（x）﹣2x﹣1，

則F′（x）=f′（x）﹣2，

又∵f（x）的導數f′（x）在R上恆有f′（x）＜2，

∴F′（x）=f′（x）﹣2＜0恆成立，

∴F（x）=f（x）﹣2x﹣1是R上的減函數，

又∵F（1）=f（1）﹣2﹣1=0，

∴當x＞1時，F（x）＜F（1）=0，即f（x）﹣2x﹣1＜0，

即不等式f（x）＜2x+1的解集爲（1，+∞）；

故選A．

【點評】本題考查了導數的綜合應用及利用函數求解不等式的方法應用，屬於中檔題．

知識點：不等式

題型：選擇題