如圖(1)，將邊長爲a的正三角形鐵皮的三個角切去三個全等的四邊形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的底面爲正...

問題詳情：

如圖(1)，將邊長爲a的正三角形鐵皮的三個角切去三個全等的四邊形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的底面爲正三角形的鐵皮箱，如圖(2)所示，當箱底邊長爲多少時，箱子容積最大?最大容積是多少?

圖(1)　             　　圖(2)

(變式)

【回答】

【解答】設箱底邊長爲x，

則箱高爲h=×(0<x<a)，

箱子的容積爲V(x)=x2×sin 60°×h=ax2-x3(0<x<a).

由V'(x)=ax-x2=0，解得x1=0(捨去)，x2=a，且當x∈時，V'(x)>0，函數V(x)單調遞增；

當x∈時，V'(x)<0，函數單調遞減，

所以函數V(x)在x=a處取得極大值，這個極大值就是函數V(x)的最大值：

V=a×-×=a3.

答：當箱子底邊長爲a時，箱子容積最大，最大值爲a3.

知識點：空間幾何體

題型：解答題