問題詳情:
如圖,在邊長爲2 (單位:m)的正方形鐵皮的四周切去四個全等的等腰三角形,再把它的四個角沿着虛線折起,做成一個正四棱錐的模型.設切去的等腰三角形的高爲x m.
(1)求正四棱錐的體積V(x);
(2)當x爲何值時,正四棱錐的體積V(x)取得最大值?
【回答】
解 (1)設正四棱錐的底面中心爲O,一側棱爲AN.則
由於切去的是等腰三角形,所以AN=,NO=1-x,……………2分
在直角三角形AON中,AO===,
………………………………4分
所以V(x)=··2·=(1-x)2,(0<x<1). …………………7分
(不寫0<x<1扣1分)
(2)V ′(x)==(x-1), ……………10分
令V ′(x)=0,得x=1(捨去),x=.
當x∈(0, )時,V ′(x)>0,所以V(x)爲增函數;
當x∈(,1)時,V ′(x)<0,所以V(x)爲減函數.
所以函數V(x)在x=時取得極大值,此時爲V(x)最大值.……………14分
答:當x爲m時,正四棱錐的體積V(x)取得最大值. ……………15分
知識點:空間幾何體
題型:解答題