問題詳情:
如圖,拋物線y=a(x﹣1)(x﹣3)(a>0)與x軸交於A、B兩點,拋物線上另有一點C在x軸下方,且使△OCA∽△OBC
(1)求線段OC的長度;
(2)設直線BC與y軸交於點M,點C是BM的中點時,求直線BM和拋物線的解析式;
(3)在(2)的條件下,直線BC下方拋物線上是否存在一點P,使得四邊形ABPC面積最大?若存在,請求出點P的座標;若不存在,請説明理由.
【回答】
(1)OC=;(2)y=x﹣,拋物線解析式為y=x2﹣x+2;(3)點P存在,座標為(,﹣).
【分析】
(1)令y=0,求出x的值,確定出A與B座標,根據已知相似三角形得比例,求出OC的長即可;
(2)根據C為BM的中點,利用直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半得到OC=BC,確定出C的座標,利用待定係數法確定出直線BC解析式,把C座標代入拋物線求出a的值,確定出二次函數解析式即可;
(3)過P作x軸的垂線,交BM於點Q,設出P與Q的橫座標為x,分別代入拋物線與直線解析式,表示出座標軸,相減表示出PQ,四邊形ACPB面積最大即為三角形BCP面積最大,三角形BCP面積等於PQ與B和C橫座標之差乘積的一半,構造為二次函數,利用二次函數*質求出此時P的座標即可.
【詳解】
解:(1)由題可知當y=0時,a(x﹣1)(x﹣3)=0,
解得:x1=1,x2=3,即A(1,0),B(3,0),
∴OA=1,OB=3
∵△OCA∽△OBC,
∴OC:OB=OA:OC,
∴OC2=OA•OB=3,
則OC=;
(2)∵C是BM的中點,即OC為斜邊BM的中線,
∴OC=BC,
∴點C的橫座標為,
又OC=,點C在x軸下方,
∴C(,﹣),
設直線BM的解析式為y=kx+b,
把點B(3,0),C(,﹣)代入得: ,
解得:b=﹣,k=,
∴y=x﹣,
又∵點C(,﹣)在拋物線上,代入拋物線解析式,
解得:a=,
∴拋物線解析式為y=x2﹣x+2;
(3)點P存在,
設點P座標為(x,x2﹣x+2),過點P作PQ⊥x軸交直線BM於點Q,
則Q(x,x﹣),
∴PQ=x﹣﹣(x2﹣x+2)=﹣x2+3x﹣3,
當△BCP面積最大時,四邊形ABPC的面積最大,
S△BCP=PQ(3﹣x)+PQ(x﹣)=PQ=﹣x2+x﹣,
當x=﹣時,S△BCP有最大值,四邊形ABPC的面積最大,此時點P的座標為(,﹣).
【點睛】
此題屬於二次函數綜合題,涉及的知識有:二次函數圖象與*質,待定係數法確定函數解析式,相似三角形的判定與*質,以及座標與圖形*質,熟練掌握各自的*質是解本題的關鍵.
知識點:二次函數單元測試
題型:解答題