如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交於點A（﹣1，0），B（5，0）兩點，直線y=﹣x+3與y軸交於點C，...

問題詳情：

如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交於點A（﹣1，0），B（5，0）兩點，直線y=﹣x+3與y軸交於點C，與x軸交於點D．點P是x軸上方的拋物線上一動點，過點P作PF⊥x軸於點F，交直線CD於點E．設點P的橫座標為m．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若PE=5EF，求m的值；

（3）若點E′是點E關於直線PC的對稱點，是否存在點P，使點E′落在y軸上？若存在，請直接寫出相應的點P的座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

【分析】（1）利用待定係數法求出拋物線的解析式；

（2）用含m的代數式分別表示出PE、EF，然後列方程求解；

（3）解題關鍵是識別出當四邊形PECE′是菱形，然後根據PE=CE的條件，列出方程求解；當四邊形PECE′是菱形不存在時，P點y軸上，即可得到點P座標．

【解答】方法一：

解：（1）將點A、B座標代入拋物線解析式，得：

，解得，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+4x+5．

（2）∵點P的橫座標為m，

∴P（m，﹣m2+4m+5），E（m，﹣ m+3），F（m，0）．

∴PE=|yP﹣yE|=|（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+3）|=|﹣m2+m+2|，

EF=|yE﹣yF|=|（﹣m+3）﹣0|=|﹣m+3|．

由題意，PE=5EF，即：|﹣m2+m+2|=5|﹣m+3|=|m+15|

①若﹣m2+m+2=m+15，整理得：2m2﹣17m+26=0，

解得：m=2或m=；

②若﹣m2+m+2=﹣（m+15），整理得：m2﹣m﹣17=0，

解得：m=或m=．

由題意，m的取值範圍為：﹣1＜m＜5，故m=、m=這兩個解均捨去．

∴m=2或m=．

（3）假設存在．

作出示意圖如下：

∵點E、E′關於直線PC對稱，

∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′．

∵PE平行於y軸，∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，∴PE=CE，

∴PE=CE=PE′=CE′，即四邊形PECE′是菱形．

當四邊形PECE′是菱形存在時，

由直線CD解析式y=﹣x+3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5．

過點E作EM∥x軸，交y軸於點M，易得△CEM∽△CDO，

∴，即，解得CE=|m|，

∴PE=CE=|m|，又由（2）可知：PE=|﹣m2+m+2|

∴|﹣m2+m+2|=|m|．

①若﹣m2+m+2=m，整理得：2m2﹣7m﹣4=0，解得m=4或m=﹣；

②若﹣m2+m+2=﹣m，整理得：m2﹣6m﹣2=0，解得m1=3+，m2=3﹣．

由題意，m的取值範圍為：﹣1＜m＜5，故m=3+這個解捨去．

當四邊形PECE′是菱形這一條件不存在時，

此時P點橫座標為0，E，C，E'三點重合與y軸上，菱形不存在．

綜上所述，存在滿足條件的點P，可求得點P座標為（﹣，），（4，5），（3﹣，2﹣3）

方法二：

（1）略．

（2）略．

（3）若E關於直線PC的對稱點E′在y軸上，則直線CD與直線CE關於PC軸對稱．

∴點D關於直線PC的對稱點D′也在y軸上，

∴DD′⊥CP，∵y=﹣x+3，

∴D（4，0），CD=5，

∵OC=3，

∴OD′=8或OD′=2，

①當OD′=8時，D′（0，8），設P（t，﹣t2+4t+5），D（4，0），C（0，3），

∵PC⊥DD′，∴KPC×KDD′=﹣1，

∴，

∴2t2﹣7t﹣4=0，

∴t1=4，t2=，

②當OD′=2時，D′（0，﹣2），

設P（t，﹣t2+4t+5），

∵PC⊥DD′，∴KPC×KDD′=﹣1，

∴=﹣1，

∴t1=3+，t2=3﹣，

∵點P是x軸上方的拋物線上一動點，

∴﹣1＜t＜5，

∴點P的座標為（﹣，），（4，5），（3﹣，2﹣3）．

【點評】本題是二次函數壓軸題，綜合考查了二次函數與一次函數的圖象與*質、點的座標、待定係數法、菱形、相似三角形等多個知識點，重點考查了分類討論思想與方程思想的靈活運用．需要注意的是，為了避免漏解，表示線段長度的代數式均含有絕對值，解方程時需要分類討論、分別計算．

知識點：二次函數的圖象和*質

題型：解答題