問題詳情:
函數f(x)=ex+asinx,x∈(-π,+∞),下列説法正確的是( )
A.當a=1時,f(x)在(0,f(0))處的切線方程為2x-y+1=0
B.當a=1時,f(x)存在唯一極小值點x0且-1<f(x0)<0
C.對任意a>0,f(x)在(-π,+∞)上均存在零點
D.存在a<0,f(x)在(-π,+∞)上有且只有一個零點
【回答】
ABD
【解析】
【分析】
逐一驗*選項,選項A,通過切點求切線,再通過點斜式寫出切線方程,選項B 通過導數求出函數極值並判斷極值範圍,選項C、D,通過構造函數,將零點問題轉化判斷函數與直線y=a 的交點問題.
【詳解】
選項A,當時,,,
所以,故切點為,,
所以切線斜率,
故直線方程為:,即切線方程為:, 選項A正確.
選項B,當時,,,
恆成立,所以單調遞增,
又,
,所以,即,所以
所以存在,使得,即
則在上,,在上,,
所以在上,單調遞減,在上,單調遞增.
所以存在唯一的極小值點.
,則,,所以B正確.
對於選項C、D,,
令,即 ,所以, 則令,
,令,得
由函數的圖像*質可知:
時,,單調遞減.
時,,單調遞增.
所以時,取得極小值,
即當時取得極小值,
又,即
又因為在上單調遞減,所以
所以時,取得極小值,
即當時取得極大值,
又,即
所以
當時,
所以當,即時,f(x)在(-π,+∞)上無零點,所以C不正確.
當,即時,與的圖象只有一個交點
即存在a<0,f(x)在(-π,+∞)上有且只有一個零點,故D正確.
故選:ABD 【點睛】
本題考查函數的切線、極值、零點問題,含參數問題的處理,考查數學運算,邏輯推理等學科素養的體現,屬於難題題.
知識點:導數及其應用
題型:選擇題