問題詳情:
已知圓C1:x2+y2=r2(r>0)與直線l0:y=相切,點A為圓C1上一動點,AN⊥x軸於點N,且動點M滿足,設動點M的軌跡為曲線C.
(1)求動點M的軌跡曲線C的方程;
(2)若直線l與曲線C相交於不同的兩點P、Q且滿足以PQ為直徑的圓過座標原點O,求線段PQ長度的取值範圍.
【回答】
【考點】KP:圓錐曲線的範圍問題;J3:軌跡方程;KL:直線與橢圓的位置關係.
【分析】(1)設動點M(x,y),A(x0,y0),由於AN⊥x軸於點N.推出N(x0,0).通過直線與圓相切,求出圓的方程,然後轉化求解曲線C的方程.
(2)①假設直線l的斜率存在,設其方程為y=kx+m,設P(x1,y1),Q(x2,y2),聯立直線與橢圓方程,結合韋達定理,通過,以及弦長公式,利用基本不等式求出範圍.②若直線l的斜率不存在,設OP所在直線方程為y=x,類似①求解即可.
【解答】解:(I)設動點M(x,y),A(x0,y0),由於AN⊥x軸於點N.∴N(x0,0).
又圓與直線即相切,∴.
∴圓.
由題意,,得,
∴.
∴,
即∴
將代入x2+y2=9,得曲線C的方程為.
(II)(1)假設直線l的斜率存在,設其方程為y=kx+m,設P(x1,y1),Q(x2,y2),
聯立,可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣8=0.
由求根公式得.(*)
∵以PQ為直徑的圓過座標原點O,∴.即.
∴x1x2+y1y2=0.即∴x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0.
化簡可得,.
將(*)代入可得,即3m2﹣8k2﹣8=0.
即,又.
將代入,可得
=.
∴若且唯若,即時等號成立.又由,∴,
∴.
(2)若直線l的斜率不存在,因以PQ為直徑的圓過座標原點O,故可設OP所在直線方程為y=x,
聯立解得,同理求得,
故.綜上,得.
知識點:圓與方程
題型:解答題